Matematika

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

Mencari nilai logaritma:
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Rumus Logaritma:

Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.

Rumus dasar logaritma:

Mencari nilai logaritma:
Cara untuk mencari nilai logaritma antara lain dengan menggunakan:
* Tabel
* Kalkulator (yang sudah dilengkapi fitur log)

Kegunaan logaritma:
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.

Rumus Logaritma:

Sains dan teknik:
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.

* Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.

* Satuan bel (dengan simbol B) adalah satuan pengukur perbandingan (rasio), seperti perbandingan nilai daya dan tegangan. Kebanyakan digunakan dalam bidang telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu sebab digunakannya logaritma adalah karena telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar secara logaritmik. Satuan Bel dinamakan untuk mengenang jasa Alexander Graham Bell, seorang penemu di bidang telekomunikasi. Satuan desibel (dB), yang sama dengan 0.1 bel, lebih sering digunakan.

* Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.

* Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.

Penghitungan yang lebih mudah:
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma:

Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.

Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut.

1.	Sifat Komutatif
	Sifat komutatif merupakan sifat pertukaran. Misal ada penjumlahan atau perkalian dua buah bilangan. Jika kedua bilangan ditukarkan hasilnya tetap sama. Apakah pertukaran berlaku untuk pengurangannya? Untuk memahami sifat komutatif, perhatikan contoh di bawah ini : Penjumlahan contoh : 56 + 64 = 120 dan 64 + 56 = 120 sehingga 56 + 64 = 64 + 56 Perkalian contoh : 12 x 24 = 288 dan 24 x 12 = 24 sehingga 12 x 24 = 24 x 12 Perhatikan operasi berikut ini ! 19 – 6 = 13 dan 6 – 19 = – 13, sehingga dapat disimpulkan sifat komutatif tidak berlaku pada pengurangan
2.	Sifat Assosiatif
.	Sifat asosiatif merupakan sifat pengelompokan. Misalnya operasi penjumlahan atau perkalian tiga buah bilangan. Operasi tersebut dikelompokkan secara berbeda.Hasil operasinya tetap sama. (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 Jadi, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan. Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut. (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24 Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4). Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3.	Sifat Distributif
	Sifat distributif merupakan sifat penyebaran. Untuk lebih memahami sifat distributif, Contoh 1 Apakah 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5)? Jawab: 3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27 (3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27 Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5). Contoh 2 Apakah 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5)? Jawab: 3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3 (3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3 Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5). Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.
4.	Menggunakan Sifat-Sifat Operasi Hitung
.	Sifat distributif dapat kamu gunakan pada perkalian dua bilangan. Pada perkalian tersebut, salah satu bilangannya merupakan bilangan yang cukup besar. Agar kamu lebih memahaminya, coba pelajari contoh-contoh berikut. Contoh 1 a. 8 × 123 = ... b. 6 × 98 = ... Jawab: a. 8 × 123 = 8 × (100 + 20 + 3)                   = (8 × 100) + (8 × 20) + (8 × 3)                   = 800 + 160 + 24 = 984 Jadi, 8 × 123 = 984. b. 6 × 98 = 6 × (100 – 2)                = (6 × 100) – (6 × 2)                = 600 – 12                = 588 Jadi, 6 × 98 = 588. Contoh 2 a. (3 × 46) + (3 × 54) = .... b. (7 × 89) – (7 × 79) = .... Jawab: a. (3 × 46) + (3 × 54) = 3 × (46 + 54)                                     = 3 × 100                                     = 300 Jadi, (3 × 46) + (3 × 54) = 300. b. (7 × 89) – (7 × 79) = 7 × (89 – 79)                                    = 7 × 10                                    = 70 Jadi, (7 × 89) – (7 × 79) = 70.

David Pimm (Rubenstein & Thompson: 2001) menyatakan beberapa fungsi simbol dalam matematika yaitu:

1. Menggambarkan struktur matematika Dengan memahami simbol-simbol matematika, maka kita menjadi lebih memahami struktur secara lebih luas dan komprehensif. Siswa menyadari bagaimana ide-ide saling berhubungan dan kemudian mengintegrasikannya lebih lanjut.

2. Membantu membuat manipulasi rutin
Keterampilan matematika dengan menggunakan simbol matematika membantu kita menangani masalah secara cepat dan otomatis tanpa kehilangan makna. Manipulasi rutin dalam matematika harus dibedakan dengan manipulasi mekanistik. Siswa kadang terjebak pada manipulasi mekanistik yaitu tanpa memahami makna operasi yang dilakukan.

3. Memungkinkan kegiatan reflektif dalam matematika
Hal ini termasuk mewaspadai tentang skema dan konsep yang dimiliki, memahami hubungan dan strukturnya, serta memanipulasinya dalam berbagai cara. Bahasa simbol memiliki karakteristik yang memungkinkan siswa berpikir secara reflektif, dan secara cepat meningkatkan kemampuan berpikirnya.

4. Mewadahi kerapian dan keajegan pikiran Simbol matematika itu sendiri bersifat ajegyang telah disepakati para matematikawan. Dengan menggunakan simbol-simbol matematika yang sama itu, maka jalan pemikiran kita menjadi lebih rapi dan mudah. Penggunaan simbol ini pula yang membuat komunikasi dapat berlangsung lebih efisien dan efektif.

5. Terakhir, perlu dipahami bahwa dalam matematika yang disebut “simbol” tidak hanya terbatas pada lambang atau notasi (“1”, ∏, “%”, …) tetapi juga peristi lahan (“persegi”, “tinggi”, “matriks”, “suku”, “prima”, …).  Jadi, istilah “tinggi” dalam matematika berbedadengan istilah “tinggi” dalam geofisika (atau fisika) kita sehari-hari.

Sumber: Rubenstein & Thompson. 2001. “Learning Mathematical Symbolism: Challenges and Instructional Strategies” dalam Mathematics Teacher Volume 94 Number 4 (April 2001): 265 – 271.